[Chapter 2-1] 부울 대수의 공리 [Boolean Algebra]

 

논리 회로를 공부하다 보면 자주 보게 되며, 사용하게 될 진리표(Truth Table)이다. 연산을 할 때에는 모든 경우의 수(All Possible Input Combination)를 기입해야 한다. 다만 왼쪽 두 진리표는 마땅히 알아야하는 표이다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

우선 필자는 수학을 연구하는 학부생이 아닌, 어디까지나 회로를 구성하기 위한 수업을 들었기 때문에, 공리는 자세히 공부하지 않았다. 따라서 자세하게 기술하지 않을 것이고, 또한 원서 혹은 교재가 있다면 그냥 스윽 읽고 지나가도 된다고 생각한다.

 

1. 덧셈과 곱셈에 관하여 닫혀 있다.

 

닫혀있다라는 표현이 익숙하지 않을 경우에 대비하여 이 부분만 짧게나마 기술한다.

「

부울 대수는 기본적으로 덧셈과 곱셈에 대하여 닫혀 있다라고 표현을 한다.

그렇다면 닫혀 있다라는 의미는 무엇인지 생각해봐야 한다.

 

닫혀 있다 : 어떤 집합에서 임의의 두 원소를 택해 연산을 하였을 때의 결과가 그 집합에 포함이 될 때를 해당 연산에 관하여 닫혀 있다라고 표현한다.

닫혀 있지 않다 : 연산을 하였을 시의 결과가 집합 내에 포함이 안 됐을 경우에 닫혀 있지 않다라고 한다.

ex) A = { x | x는 자연수 } 일 때, 각 사칙연산에 대해 관계를 서술하자.

덧셈 : 집합 A 내의 어느 원소를 더한다 하여도 그에 대한 결과값은 자연수이기 때문에 집합 A에 반드시 포함이 된다. 따라서 덧셈에 대하여 닫혀있다 라고 할 수 있다.

뺄셈 : 제일 쉬운 예시로 1 - 2일 때, 결과값이 자연수가 아니기 때문에 닫혀있지 않다라고 할 수 있다.

곱셈 : 닫혀있다.

나눗셈 : 닫혀있지 않다. 반례) 2 / 4 = 0.5

 

그렇다면 다시 이진수로 돌아와서

A = { 0, 1 } 의 집합이다.

맨 처음에 진리표를 봤을 때, 각 곱셈과 덧셈에 대하여 다시 0과 1이 나오는 것을 확인할 수가 있다.

따라서 우리는 덧셈과 곱셈에 대하여 닫혀 있다라고 한다.

 

2. 0은 덧셈의 항등원이고, 1은 곱셈의 항등원이다.

 

3. +와 ·은 교환적이다.      x+y = y+x 와 x·y = y·x를 말한다.

 

4. ·는 +에 관해 분배적이며, +또한 ·에 관하여 분배적이다.

 

5. x + x' = 1이며, x · x' = 0 이다. 

참고) x'는 x의 보수를 의미한다.

 

6. x ≠ y를 만족하는 2개의 원소 x, y가 존재한다.

 

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다음에 기술할 내용은 이번 시간에 배웠던 공리를 통해 전개할 것이지만, 위에서 밝혔듯이 당연한 관계를 서술한 것에 불과하기 때문에 이번 2-1의 내용은 외울 필요가 없다고 생각한다.

p.s 어디까지나 주인장의 생각이니 만일 대학에서 논리회로를 수강하신다면 필히 교수님의 설명과 필기에 집중하여, 시험에 나올지 안나올지를 직접 판단하시길 바랍니다...